Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }} = \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt a - b} \right)} \) với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \(T = a + b\...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt x }}} \\ = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt x }}{{x + 1 - x}}} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {x + 1}  - \sqrt x } \right)dx}\\  = \left. {\dfrac{2}{3}\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^3}} \right]} \right|_0^1\\ = \dfrac{2}{3}\left[ {\left( {\sqrt 8  - 1} \right) - \left( {1 - 0} \right)} \right] \\= \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt 8  - 2} \right)\end{array}\)

Khi đó \(a = 8;\,\,b = 2.\)

Vậy \(T = a + b = 8 + 2 = 10.\)