Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(x + \sqrt 2 y - z + 3 = 0\) cắt mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\) theo giao tuyến là một đường tròn. Chu vi đường tròn đó bằng

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\) có tâm là \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng \(\left( P \right):x + \sqrt 2 y - z + 3 = 0\) là \(d = \dfrac{3}{{\sqrt {1 + 2 + 1} }} = \dfrac{3}{2}.\)

Áp dụng định lý Pytago ta có \({R^2} = {r^2} + {d^2} \Rightarrow r = \sqrt {5 - {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}.\)

Vậy chu vi đường tròn bán kính r bằng \(C = 2\pi r = \pi \sqrt {11} .\)