Cho số phức \(z = x + yi\) \(\left( {x \ge 0,\,\,y \ge 0} \right)\) thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right| \le \left| {z - 3 - 5i} \right|\). Giá trị lớn nhât của \(T = 35x + 63y\) bằng...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z - 1 + i} \right| \le \left| {z - 3 - 5i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 + i} \right| \le \left| {x + yi - 3 - 5i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le {\left( {x - 3} \right)^2} \\+ {\left( {y - 5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 \le {x^2}\\ - 6x + 9 + {y^2} - 10y + 25\\ \Leftrightarrow 4x + 12y - 32 \le 0\\ \Leftrightarrow x + 3y \le 8\end{array}\)

Khi đó ta có: \(\left( {x;y} \right)\) là cặp số thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 3y \le 8\end{array} \right.\).

Miền nghiệm là tam giác OAB (phần không bị gạch, kể cả bờ là các cạnh của tam giác OAB), với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {0;\dfrac{8}{3}} \right)\), \(B\left( {8;0} \right)\).

Ta có: \(T\left( O \right) = 0,\,\,T\left( A \right) = 168,\,\,T\left( B \right) = 280\).

Vậy \(\max T = 280 \Leftrightarrow z = 8.\)