Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 + 1/2 x - x^2/8 < căn(1 + x) < 1 + 1/2 x với 0 < x < + vô cực

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số h(x) trên [0; +$\infty$)

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +$\infty$).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0; +$\infty$);

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +$\infty$) nên g(x) $\ge$ 0, tức là f′(x) $\ge$ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x < +$\infty$