Cho hàm số: y = –(m^2 + 5m)x^3 + 6mx^2 + 6x – 5. Xác định m để hàm số

* Hướng dẫn giải

y = –(${\mathrm{m}}^2$ + 5m)${\mathrm{x}}^3$ + 6m${\mathrm{x}}^2$ + 6x – 5

y′ = –3(${\mathrm{m}}^2$ + 5m)${\mathrm{x}}^2$ + 12mx + 6

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

    +) ${\mathrm{m}}^2$ + 5m = 0 ⇔ 

– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

    +) Với ${\mathrm{m}}^2$ + 5m $\ne$ 0. Khi đó, y’ không đổi dấu nếu

$∆$' = 36${\mathrm{m}}^2$ + 18(${\mathrm{m}}^2$ + 5m) $\le$ 0 ⇔ 3${\mathrm{m}}^2$ + 5m $\le$ 0 ⇔ –5/3 $\le$ m $\le$ 0

– Với điều kiện đó, ta có –3(${\mathrm{m}}^2$ + 5m) > 0 nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện –5/3 $\le$ m $\le$ 0 thì hàm số đồng biến trên R.