Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {0;0;3} \right),\) \(B\left( {1;1;3} \right),\) \(C\left( {0;1;1} \right)\). Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt p...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l}A\left( {0;0;3} \right);B\left( {1;1;3} \right);C\left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;0} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {0;1; - 2} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\end{array}\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\) là 1 VTPT.\( - 2.\left( {x - 0} \right) + 2.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 2y + z - 3 = 0.\)

Vậy \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 1\).