Cho số phức \(z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}},\,\,m \in \mathbb{R}\). Số phức \({\rm{w}} = {z^2}\) có \(\left| {\rm{w}} \right| = 9\) khi các giá trị của \(m\) là:

* Hướng dẫn giải

Ta có \(z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow w = {z^2} = {\left( {\frac{{m + 3i}}{{1 - i}}} \right)^2}\\ \Rightarrow w = \frac{{{m^2} + 6mi - 9}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right) + 6mi}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i + 6m{i^2}}}{{ - 2{i^2}}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i - 6m}}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2}\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| w \right| = 9 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}}  = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 9} \right)^2} + 36{m^2} = 324\\ \Leftrightarrow {m^4} + 18{m^2} - 243 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\{m^2} =  - 27\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 3\end{array}\)

Vậy \(m =  \pm 3\).