Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {3;1;2} \right),\) \(B\left( { - 3; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + 3z - 14 = 0\). Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao...

* Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB

Suy ra \(I\left( {0;0;1} \right)\)

Ta có \(AB = \sqrt {{6^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {11} \)

\(\Delta ABM\) vuông tại M suy ra M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {11} \)

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {11} \)

Suy ra M là hình chiếu của I lên (P)

Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là

\(\begin{array}{l}d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t;t;1 + 3t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow t + t + 3\left( {1 + 3t} \right) - 14 = 0\\ \Rightarrow t = 1\\ \Rightarrow M\left( {1;1;4} \right)\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\end{array}\)