Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình \({25^x} - {2.15^x} + \left( {m - 4} \right){.9^x} = 0\) có nghiệm dương ?

* Hướng dẫn giải

Ta có \({25^x} - {2.15^x} + \left( {m - 4} \right){.9^x} = 0\)(1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{25}}{9}} \right)^x} - 2,{\left( {\frac{{15}}{9}} \right)^x} + \left( {m - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} + \left( {m - 4} \right) = 0\end{array}\)

Đặt \({\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} = t > 0\). Ta có phương trình: \({t^2} - 2t + \left( {m - 4} \right) = 0\)(2)

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (2) có nghiệm

Hay \(\Delta ' = 1 - \left( {m - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 0 < m \le 5 \Rightarrow \) có 5 giá trị m thỏa mãn.