Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên tập hợp \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx = 3} \) và \(f\left( { - 3} \right) = 2\). G...

* Hướng dẫn giải

Ta gọi \(I = \int\limits_{ - 3}^0 {xf'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_{ - 3}^0 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \\I = 3f\left( { - 3} \right) - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \\I = 6 - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Xét tích phân \(\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx = 3} \).

Đặt \(t = 3x - 6 \Rightarrow dt = 3dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t =  - 3\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_1^2 {f\left( {3x - 6} \right)dx}  = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( t \right)dt} \)\( = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx}  = 3\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx}  = 9.\)

Vậy \(I = 6 - 9 =  - 3.\)