Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),\) \(B\left( {3;2; - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 4z - 7 = 0\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳ...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{P_A} = 1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7 =  - 22\\{P_B} = 3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7 = 8\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {P_A}.{P_B} < 0 \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(\left( P \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot \left( P \right)\\BK \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel BK\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\).

Mà

\(\begin{array}{l}d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{22}}{{\sqrt {21} }}\\d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.2 - 4.\left( { - 2} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {21} }}\end{array}\)

Vậy \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{{22}}{8} = \frac{{11}}{4}.\)