Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 17 = 0\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {0;0;m} \right) \in Oz\).

Ta có: \(MA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13} \) .

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\)

Vì M cách đều điểm A và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow MA = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 13}  = \frac{{\left| {m - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 14\left( {{m^2} - 8m + 16 + 13} \right) = {m^2} - 34m + 289\\ \Leftrightarrow 13{m^2} - 78m + 117 = 0\\ \Leftrightarrow 13\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 13{\left( {m - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m = 3.\end{array}\)

Vậy \(M\left( {0;0;3} \right)\).