Biết số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{5\left( {\overline z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\). Mô đun số phức \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\) bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{5\left( {\overline z  + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow \frac{{5\left( {a - bi + i} \right)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Leftrightarrow 5\left[ {a - \left( {b - 1} \right)i} \right] \\= \left( {a + 1 + bi} \right)\left( {2 - i} \right)\\ \Leftrightarrow 5a - 5\left( {b - 1} \right)i\\= 2\left( {a + 1} \right) + b + \left( {2b - a - 1} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 2a + 2 + b\\5 - 5b = 2b - a - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow a = b = 1\\ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\\ \Rightarrow {\rm{w}} = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i \\= 2 + 3i\end{array}\)

Vậy \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)