Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\frac{{3{x^2} + 3mx - 30}}{{3x - 10}}} \right|\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho \(\mathop {\min }\l...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+3mx-30}{3x-10}\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{9{{x}^{2}}-60x-30m+90}{{{\left( 3x-10 \right)}^{2}}}\)

Ta có \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge 0\), vì \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)+\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=3$ nên \(\Rightarrow \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\le 3\). Mà \(f\left( 0 \right)=3\) nên \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=2=f\left( 0 \right)\Rightarrow g'\left( 0 \right)=0\Rightarrow m=3\).

Với m=3 thì \(g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+9x-30}{3x-10}\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{9{{x}^{2}}-60x}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow x=0,x=\frac{20}{3}\left( l \right)\)

Bảng biến thiên

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 3\) (thỏa).

Vậy tập S có 1 giá trị.