Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({{\log }_{3}}\left( x+y \right)={{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\). Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc tập giá trị của biểu...

* Hướng dẫn giải

Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = {3^t}\\ {x^2} + {y^2} = {4^t} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = {3^t}\\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {4^t} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = {3^t}\\ xy = {\frac{{{9^t} - 4}}{2}^t} \end{array} \right.\)

Điều kiện tồn tại x, y là \({\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0 \Leftrightarrow {9^t} - 2.({9^t} - {4^t}) \ge 0 \Leftrightarrow {2.4^t} \ge {9^t} \Leftrightarrow 2 \ge {\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} \Leftrightarrow t \le {\log _{\frac{9}{4}}}2 \approx 0,85\)

\(P = {x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = {27^t} - 3.{\frac{{{9^t} - 4}}{2}^t}{.3^t} = \frac{{{{3.12}^t} - {{27}^t}}}{2}\)

\(P' = \frac{{{{3.12}^t}.\ln 12 - {{27}^t}.\ln 27}}{2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} = \frac{{\ln 27}}{{3.\ln 12}} \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{4}{9}}}\left( {\frac{{\ln 27}}{{3.\ln 12}}} \right) \approx 1\)

Do đó tổng các giá trị nguyên là 1 + 2 + 3 + 4 = 10