Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d song song với \(d':x - 4 = \frac{{y - 7}}{4} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\), đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 với...

* Hướng dẫn giải

d' có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 2} \right)\), d₂ có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l} x = t'\\ y = 1 - 2t'\\ z = 1 + 3t' \end{array} \right.\).

Giả sử A và B lần lượt là giao điểm của d với d₁ và d₂ \( \Rightarrow A\left( {t\,;\, - 1 + 2t\,;\,t} \right)\) và \(B\left( {t'\,;\,1 - 2t'\,;\,1 + 3t'} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {t' - t\,;\,2 - 2t' - 2t\,;\,1 + 3t' - t} \right)\).

Do d//d' nên vectơ \(\overrightarrow u \) và vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{{t' - t}}{1} = \frac{{2 - 2t' - 2t}}{4} = \frac{{1 + 3t' - t}}{{ - 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = 2\\ t' = 1 \end{array} \right.\).

Do đó, A(2;3;2).

Vậy d là đường thẳng đi qua A(2;3;2) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 2} \right)\) là VTCP nên d có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + u\\ y = 3 + 4u\\ z = 2 - 2u \end{array} \right.\)