Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat{ABC}=60{}^\circ \). Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) trùng với trọng tâm của...

* Hướng dẫn giải

Trước hết ta chứng minh được \(\sin \,(SB;(SCD))=\frac{d(B,(SCD))}{SB}\) (như hình trên).

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó ta có \(CO\bot CD\).

Dựng \(OH\bot SC\) suy ra \(OH\bot (SCD)\). Ta tính được \(OC=\frac{a\sqrt{3}}{3},SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{3}\).

Khi đó \(d(B,(SCD))=\frac{3}{2}d(O,(SCD))=\frac{3}{2}OH=\frac{3}{2}\frac{\text{a}\sqrt{2}}{3}=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}\).

Vậy \(\sin \,(SB;(SCD))=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)