Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm liên tục trên \(\left( 0;+\infty \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\) và \(2x.f\left( x \right)+{{x}^{2}}{f}'\left(...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(2x.f\left( x \right)+{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}f\left( x \right) \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}+1\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

\(\int{{{\left( {{x}^{2}}f\left( x \right) \right)}^{\prime }}\text{dx=}\int{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{dx}\Rightarrow {{x}^{2}}f\left( x \right)={{x}^{3}}+x+C}}\) , C là một số thực nào đó.

Mà ta lại có \(f\left( 1 \right)=1\Rightarrow 1=2+C\Leftrightarrow C=-1\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+x-1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( 2 \right)=\frac{9}{4}\).