Cho các số thực dương \(a,\text{ }b\) thỏa mãn điều kiện \(({{2}^{a+b+1}}+{{2}^{a+2b-1}})({{2}^{3a+4b-3}}+{{2}^{1-a-b}})={{2}^{2a+3b}}.\) Giá trị của biểu thức \(P={{a}^{2}}+{{b}^{...

* Hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết

\(\begin{array}{l} ({2^{a + b - 1}} + {2^{a + 2b - 1}})({2^{3a + 4b - 3}} + {2^{1 - a - b}}) = {2^{2a + 3b}}\\ \Leftrightarrow {2^{4a + 5b - 4}} + {2^0} + {2^{4a + 6b - 4}} + {2^b} = {2^{2a + 3b}}\\ \Leftrightarrow {2^{2a + 2b - 4}} + {2^{ - 2a - 3b}} + {2^{2a + 3b - 4}} + {2^{ - 2a - 2b}} = 1. \end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình  nhân, ta có

\(\begin{array}{l} {2^{2a + 2b - 4}} + {2^{ - 2a - 3b}} + {2^{2a + 3b - 4}} + {2^{ - 2a - 2b}} = \left( {{2^{2a + 2b - 4}} + {2^{ - 2a - 2b}}} \right) + \left( {{2^{ - 2a - 3b}} + {2^{2a + 3b - 4}}} \right) \ge {2.2^{ - 2}} + {2.2^{ - 2}} = 1,\\ = khi\left\{ \begin{array}{l} 2a + 2b - 4 = - 2a - 2b\\ - 2a - 3b = 2a + 3b - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 0 \end{array} \right.. \end{array}\)

\( \Rightarrow P = 1 \in \left[ {1;3} \right]\)