Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{e}^{2x}}-6{{e}^{x}}+m \right|\) trên đoạn \(\left[ \ln 2;\ln 5 \right]\) bằng 7 ?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(u = {e^x}\), từ điều kiện của x, có \(u \in [2;5]\) và hàm số đã cho thành \(y = \left| {f(u)} \right|,u = {e^x} \in [2;5].\)

\(f(u) = {u^2} - 6u + m,{f'}(u) = 2u - 6,{f'}(u) = 0 \Leftrightarrow u = 3,f(2) = m - 8,f(3) = m - 9,f(5) = m - 5\)

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ln2; ln5] thuộc tập hợp

\(A = \left\{ {\left| {m - 8} \right|,\left| {m - 9} \right|,\left| {m - 5} \right|} \right\}.\)

\(\left| {m - 8} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 15 \Rightarrow A = \left\{ {7;6;10} \right\}\\ m = 1 \Rightarrow A = \left\{ {7;8;4} \right\} \end{array} \right..\)

\(\left| {m - 9} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 16 \Rightarrow A = \left\{ {8;7;11} \right\}\\ m = 2 \Rightarrow A = \left\{ {6;7;3} \right\} \end{array} \right..\)

\(\left| {m - 5} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 12 \Rightarrow A = \left\{ {4;3;7} \right\}\\ m = - 2 \Rightarrow A = \left\{ {10;11;7} \right\} \end{array} \right..\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ln2; ln5] bằng 7 khi m = 2 hoặc m = 12, tức là có hai giá trị m cần tìm.