Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức \({\log _3}({\log _2}({e^{2x - y - 1}} - 2x + y + 2)) = {\log _2}({\log _3}( - {x^2} - 4{y^2} + 4xy - 2x + 4y + 2))\)

* Hướng dẫn giải

Bằng cách khảo sát hàm số, chứng minh được \({e^x} \ge x + 1,{\rm{ }} = {\rm{ }}khi{\rm{ }}x = 0\) nên   

\(\begin{array}{l} {e^{2x - y - 1}} - 2x + y + 2 = {e^{2x - y - 1}} - [(2x - y - 1) + 1] + 2 \ge 2\\ \Rightarrow lo{g_3}({\log _2}({e^{2x - y - 1}} - 2x + y + 2)) \ge {\log _3}({\log _2}(2)) = 0, = {\rm{ }}khi{\rm{ }}2x - y - 1 = 0{\rm{ }}(1) \end{array}\)

Lại có

\(\begin{array}{l} - {x^2} - 4{y^2} + 4xy - 2x + 4y + 2 = 3 - {(x - 2y + 1)^2} \le 3\\ \Rightarrow {\log _2}({\log _3}( - {x^2} - 4{y^2} - 2x + 4y + 2)) \le {\log _2}({\log _3}3)) = 0,{\rm{ }} = {\rm{ }}khi{\rm{ }}x - 2y + 1 = 0{\rm{ }}(2) \end{array}\)

Từ (1) và (2), đẳng thức xảy ra khi đồng thời có \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y - 1 = 0\\ x - 2y + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right..\)

Vậy có 1 cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.