Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m,\text{ }m\ge -3\) để phương trình x3 −3mx+ 2 = 0 có nghiệm duy nhất

* Hướng dẫn giải

x³ − 3mx + 2 = 0 (∗) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ m = \frac{{{x^3} + 2}}{{3x}} \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 2}}{{3x}}\) trên D = R \ {0}. Ta có f’(x) =  \(\frac{{2{x^3} - 2}}{{3{x^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên của hàm số f = f(x)

Phương trình (∗) có nghiệm duy nhất

⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm duy nhất ⇔ m < 1 .

Mà m là số nguyên,\(m \ge  - 3\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)