Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trong đoạn \(\left[ 1;e \right]\), biết \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}=1,f\left( e \right)=2.\) Tích phân \(\int\lim...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} \int\limits_1^e {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = \int\limits_1^e {f\left( x \right)d\ln x} = \left. {f\left( x \right)\ln x} \right|{}_1^e - \int\limits_1^e {\ln xf'\left( x \right)dx = 1} \\ \Rightarrow f\left( e \right) - \int\limits_1^e {\ln xf'\left( x \right)dx = 1} \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^e {\ln xf'\left( x \right)dx = f\left( e \right) - 1 = 2 - 1 = 1} \end{array}\)