Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;\,\,-1 \right\}\) thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right)=2\ln 2\) và \(x\left( x+1 \right).{f}'\le...

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có \(x\left( x+1 \right).{f}'\left( x \right)+f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2 \Leftrightarrow  \frac{x}{x+1}.{f}'\left( x \right)+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}f\left( x \right)=\frac{x+2}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow {{\left[ \frac{x}{x+1}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\frac{x+2}{x+1}\), với \(\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0;\,\,-1 \right\}\).

Suy ra \(\frac{x}{x+1}.f\left( x \right) =\int{\frac{x+2}{x+1}\,}\text{d}x=\int{\left( 1+\frac{1}{x+1} \right)\,}\text{d}x=\) hay \(\frac{x}{x+1}.f\left( x \right) =x+\ln \left| x+1 \right|+C\).

Mặt khác, ta có \(f\left( 1 \right)=2\ln 2\) nên C=-1. Do đó \(\frac{x}{x+1}.f\left( x \right) =x+\ln \left| x+1 \right|-1\).

Với x=2 thì \(\frac{2}{3}.f\left( 2 \right)=1+\ln 3 \Leftrightarrow  f\left( 2 \right)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ln 3\). Suy ra \(a=\frac{3}{2}\) và \(b=\frac{3}{2}\)

Vậy \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{9}{2}\)