Cho hàm số \(y=\frac{3x-1}{x-3}\) có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

* Hướng dẫn giải

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: \({{\Delta }_{1}}:x-3=0\) và tiệm cận ngang \({{\Delta }_{2}}:y-3=0\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) với \({{y}_{0}}=\frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-3}\,\,\,\left( {{x}_{0}}\ne 3 \right)\). Ta có:

\(d\left( M,{{\Delta }_{1}} \right)=2.d\left( M,{{\Delta }_{2}} \right)\Leftrightarrow \left| {{x}_{0}}-3 \right|=2.\left| {{y}_{0}}-3 \right|\)

\(\Leftrightarrow \left| {{x}_{0}}-3 \right|=2.\left| \frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-3}-3 \right|\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=-1 \\ & {{x}_{0}}=7 \\ \end{align} \right.\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({{M}_{1}}\left( -1;1 \right)\) và \({{M}_{2}}\left( 7;5 \right)\)