Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh \(AB = a,AD = a\sqrt 2 \), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) góc giữa SC và đáy bằng 600. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng

* Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có, \(SA\bot \left( ABCD \right)\), nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD). \(\Rightarrow \left[ \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right]=\left( \widehat{SC,AC} \right)=\widehat{SCA}={{60}^{0}}\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\)

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại A, có \(\left( SA\bot \left( ABCD \right) \right)\Rightarrow SA\bot AC\)

Ta có: \(\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}\Rightarrow SA=AC.\tan \widehat{SCA}=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.\sqrt{3}=3a\)

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:

\({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.3a.a.a\sqrt{2}={{a}^{3}}\sqrt{2}\)