Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( -3;2;-3 \right)\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\...

* Hướng dẫn giải

d₁ đi qua điểm \({{M}_{1}}\left( 1;-2;3 \right)\) và có vtcp \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;-1 \right)\)

d₂ đi qua điểm \({{M}_{2}}=\left( 3;1;5 \right)\) và có vtctp \(\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;3 \right)\)

Ta có \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} -1 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right| \right)=\left( 5;-4;1 \right)\) và \(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 2;3;2 \right)\)

Suy ra \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=5.2-4.3+1.2=0\), do đó d₁ và d₂ cắt nhau

Mặt phẳng (P) chứa d₁ và d₂.

Điểm trên (P) \({{M}_{1}}\left( 1;-2;3 \right)\)

Vtpt của (P): \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 5;-4;1 \right)\)

Vậy, PTTQ của mp(P) là: \(5\left( x-1 \right)-4\left( y+2 \right)+1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow 5x-4y+z-16=0\)