Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh BC bằng a. Mặt bên tam giác SAB đều có cạnh bằng \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đ...

* Hướng dẫn giải

Gọi SM là đường cao của tam giác đều SAB (M là trung điểm của AB).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\ SM \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)

Do đó MC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\).

Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \(\left( SC,\,\,MC \right)=\widehat{SCM}\).

Tam giác SAB đều nên đường cao \(SM=\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\).

Tam giác BMC vuông tại B nên \(MC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{8}}=\frac{3a}{2\sqrt{2}}\).

Vì \(SM\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SM\bot MC\). Tam giác SMC vuông tại M, có:

\(\tan \widehat{SCM}=\frac{SM}{MC}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\frac{2\sqrt{2}}{3a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{SCM}=30{}^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \(30{}^\circ \).