Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón có diện tích xung quanh của hình nó...

* Hướng dẫn giải

Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón có  bán kính đáy r=AC, góc giữa đường sinh và mặt đáy là góc \(\widehat{BCA}={{30}^{0}}\), chiều cao hình nón \(h=AB=AC.\tan {{30}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}r\) nên đường sinh \(l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{r}^{2}}}{3}+{{r}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}r\).

Mà theo giả thiết  diện tích xung quanh của hình nón bằng:

\({{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .r.\frac{2}{\sqrt{3}}r=8\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}\Rightarrow {{r}^{2}}=12{{a}^{2}}\Rightarrow r=2\sqrt{3}a\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{3}r=\frac{\sqrt{3}}{3}.2\sqrt{3}a=2a\).

Vậy thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}h.\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{3}.2a.\pi .12{{a}^{2}}=8\pi {{a}^{3}}\).