Xét \(\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}\), nếu đặt \(u=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}\) bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow 2udu = 2xdx \Rightarrow xdx = udu\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow u = 1\\ x = 1 \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} {\kern 1pt} {\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} {\kern 1pt} .x{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {u.udu = } \int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^2}du} \)