Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD là tứ diện đều cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O=AC\cap BD\), I là trọng tâm của tam giác ABD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AI và SA, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên NO.

Khi đó, ta có: \(d\left( SC,BD \right)=d\left( SC,\left( NBD \right) \right) =d\left( C,\left( NBD \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( M,\left( NBD \right) \right)=\frac{3}{2}MH\).

Do \(SI\bot \left( ABCD \right)\), suy ra \(\Delta SIA\) vuông tại I.

Khi đó, ta có: \(SI=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3} \Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{6}}{6}\).

Trong tam giác vuông NMO vuông tại M, có: \(OM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Suy ra \(\frac{1}{M{{H}^{2}}}=\frac{1}{M{{N}^{2}}}+\frac{1}{M{{O}^{2}}}=\frac{6}{{{a}^{2}}}+\frac{3}{{{a}^{2}}}=\frac{9}{{{a}^{2}}} \Rightarrow MH=\frac{a}{3} \Rightarrow d\left( SC,BD \right)=\frac{3}{2}.\frac{a}{3}=\frac{a}{2}\).