Cho khối trụ có thể tích \(200\pi {{a}^{3}}\). Biết rằng khi cắt khối trụ đó bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a thì thiết diện thu được là một hìn...

* Hướng dẫn giải

Thiết diện thu được là hình vuông ABCD như hình vẽ. Gọi h là chiều cao của hình trụ. Khi đó AB=BC=h. Gọi I là trung điểm AB, ta có:

\(OI\bot AB\Rightarrow OI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow 3a=d\left( O{O}',\left( ABCD \right) \right)=d\left( O,\left( ABCD \right) \right)=OI\).

Hình trụ có bán kính \(R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{h}^{2}}+36{{a}^{2}}}\).

Thể tích khối trụ là \(V=\pi {{R}^{2}}h=200\pi {{a}^{3}}\).

\(\Rightarrow \pi .\frac{1}{4}\left( {{h}^{2}}+36{{a}^{2}} \right).h=200\pi {{a}^{3}}\Leftrightarrow {{h}^{3}}+36{{a}^{2}}h=800{{a}^{3}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{h}{a} \right)}^{3}}+36.\frac{h}{a}-800=0\Leftrightarrow \frac{h}{a}=8\)

\(\Leftrightarrow h=8a\).

Suy ra: \(R=\frac{1}{2}\sqrt{{{h}^{2}}+36{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 8a \right)}^{2}}+36{{a}^{2}}}=5a\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({{S}_{xq}}=2\pi Rh=2\pi .5a.8a=80\pi {{a}^{2}}\).