Cho x,y,z>0; a,b,c>1 và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt {abc} \)

\( \Rightarrow x{\log _{abc}}a = y{\log _{abc}}b = z{\log _{abc}}c = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} = 2{\log _{abc}}a\\ \frac{1}{y} = 2{\log _{abc}}b\\ \frac{1}{z} = 2{\log _{abc}}c \end{array} \right.\\ \end{array}\)

Do đó: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\left( {{{\log }_{abc}}a + {{\log }_{abc}}b + {{\log }_{abc}}c} \right) = 2{\log _{abc}}abc = 2\)

Suy ra: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 - \frac{1}{z}\)

Ta có: \(P = \frac{{16}}{x} + \frac{{16}}{y} - {z^2} = 16\left( {2 - \frac{1}{z}} \right) - {z^2} = 32 - \frac{{16}}{z} - {z^2}\) ( z > 0 ).

Mặc khác, \(\frac{{16}}{z} + {z^2} = \frac{8}{z} + \frac{8}{z} + {z^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{8}{z}.\frac{8}{z}.{z^2}}} = 12\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow z = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 32 - 12 = 20 tại z = 2.