Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(A{A}'=9\), AB=3 và AD=4. Điểm M nằm trên cạnh \({A}'{B}'\) sao cho \({A}'{B}'=3.{A}'M\). Mặt phẳng \(\left( ACM \right)\) cắt \...

* Hướng dẫn giải

Trong \(\left( {A}'{B}'BA \right)\), gọi P là giao điểm của AM và \(B{B}'\). Trong \(\left( {B}'{C}'CB \right)\), gọi N là giao điểm của PC và \({B}'{C}'\). Khi đó \(N={B}'{C}'\cap \left( ACM \right)\).

Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\), gọi \({{V}_{1}}\) thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,\,C,\,D,\,{A}',\,M,\,N,\,{C}'\) và \({D}'\), gọi \({{V}_{2}}\) là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,\,C,\,B,\,M,\,N,\,{B}'\),

Ta có \(\frac{P{B}'}{PB}=\frac{PN}{PC}=\frac{PM}{PA}=\frac{M{B}'}{AB}=\frac{2}{3}\), do đó \(PB=3.B{B}'=3.9=27\).

\(V=AB.AD.A{A}'=3.4.9=108\)

\({{V}_{P.ABC}}=\frac{1}{3}PB.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.27.\frac{1}{2}.3.4=54\)

\(\frac{{{V}_{P.MN{B}'}}}{{{V}_{PABC}}}=\frac{P{B}'}{PB}.\frac{PN}{PC}.\frac{PM}{PA}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{8}{27}\) hay \({{V}_{P.MN{B}'}}=\frac{8}{27}{{V}_{PABC}}\)

Khi đó \({{V}_{2}}={{V}_{PABC}}-{{V}_{P.MN{B}'}}={{V}_{PABC}}-\frac{8}{27}{{V}_{PABC}}=\frac{19}{27}{{V}_{PABC}}=\frac{19}{27}.54=38\).

Vậy \({{V}_{1}}=V-{{V}_{2}}=108-38=70\).