Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{7}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

* Hướng dẫn giải

Gọi I, H,J lần lượt  là trung điểm đoạn SD, AD  và IC. Ta có \(SB\parallel \left( IAC \right)\) và \(IH\bot \left( ABCD \right).\)

Ta có \(d\left( SB,AC \right)=d\left( SB,\left( IAC \right) \right)=\left( B,\left( IAC \right) \right)=d\left( D,\left( IAC \right) \right).\)

\(IA=\frac{SD}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{7{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}=AC;IC=\sqrt{I{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3};IJ=\frac{a\sqrt{3}}{2}; AJ=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{J}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

\({{S}_{\Delta IAC}}=\frac{1}{2}IC.AJ=\frac{1}{2}a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{15}}{4}.\)

\({{V}_{I.ACD}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ACD}}.IH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}.\frac{1}{2}a\sqrt{7}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{12}.\)

Mặt khác \({{V}_{I.ACD}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta IAC}}.d\left( D,\left( IAC \right) \right)\Rightarrow d\left( D,\left( IAC \right) \right)=\frac{3V}{{{S}_{\Delta IAC}}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{7}}{12}.\frac{4}{{{a}^{2}}\sqrt{15}}=\frac{a\sqrt{105}}{15}.\)