Cho hình nón có chiều cao bằng 2a. Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón cách tâm đường tròn đáy của hình nón một khoảng bằng a là một tam giác đều. Tính thể tích của khối nón giới h...

* Hướng dẫn giải

Gọi thiết diện qua đỉnh hình nón là tam giác đều SAB. Gọi H là trung điểm đoạn AB. Ta có \(\left( SOH \right)\bot \left( SAB \right)\), kẻ \(OI\bot SH\] tại I. Ta có \(OI=d\left( O,\left( SAB \right) \right)=a.\)

\(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{I}^{2}}}-\frac{1}{O{{S}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{3}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow O{{H}^{2}}=\frac{4{{a}^{2}}}{3}\)

\(AB=\frac{2SH}{\sqrt{3}}=\frac{8a}{3}\); Bán kính đáy hình nón \(r=OB=\sqrt{O{{H}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{4{{a}^{2}}}{3}+\frac{16{{a}^{2}}}{9}}=\frac{2a\sqrt{7}}{3}.\)

\(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \frac{28{{a}^{2}}}{9}.2a=\frac{56\pi {{a}^{3}}}{27}.\)