Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{6} \right].\) Biết \(F\left( x \right)=\sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left( x...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(u=\tan 2x,dv={{f}^{'}}\left( x \right)dx\Rightarrow du=\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}dx,\) chọn \(v=f\left( x \right)\)

\(I=f\left( x \right)\tan 2x\left| {}_{0}^{\frac{\pi }{6}} \right.-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}dx=\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{6} \right)-2\sin x\left| {}_{0}^{\frac{\pi }{6}} \right.=\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{6} \right)-1\)

\(F\left( x \right)=\sin x\) là nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}2x}\) nên \({{\left( \sin x \right)}^{'}}=\frac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}2x}\Leftrightarrow f\left( x \right)=\cos x.{{\cos }^{2}}2x\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{3}}{8}\Rightarrow I=\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{8}-1=-\frac{5}{8}.\)