Cho các số thực dương a và b thỏa mãn \({{\log }_{b}}a\sqrt{b}={{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}\) và \({{\log }_{b}}a>0\). Tính \(m={{\log }_{b}}a\)

* Hướng dẫn giải

\({\log _b}a\sqrt b  = {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt b }} \Leftrightarrow {\log _b}a + \frac{1}{2} = \frac{{{{\log }_b}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt b }}}}{{{{\log }_b}\frac{{\sqrt a }}{b}}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _b}a + \frac{1}{2} = \frac{{\frac{1}{3}{{\log }_b}a - \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}{{\log }_b}a - 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\left( {{{\log }_b}a} \right)^2} - \frac{{13}}{{12}}{\log _b}a = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _b}a = 0\\ {\log _b}a = \frac{{13}}{6} \end{array} \right. \Rightarrow {\log _b}a = \frac{{13}}{6}\) vì \({\log _b}a > 0\)