Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC=4a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của AB. Tính AB biết khoảng cách giữa...

* Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của AC.Ta có \(BC\,\text{//}\,MN\Rightarrow BC\,\text{//}\,\left( SMN \right).$

Khi đó \(d\left( BC,SM \right)=d\left( BC,\left( SMN \right) \right)=d\left( B,\left( SMN \right) \right)=d\left( A,\left( SMN \right) \right).\)

Kẻ \(AI\bot MN\ \left( I\in MN \right),\ AH\bot SI\ \left( H\in SI \right).\) Suy ra \(d\left( A,\left( SMN \right) \right)=AH.\)

Ta có \(AM=x,\ AN=2a,\ AI=\frac{2a.x}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}\)

\(AH=\frac{SA.AI}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}\Leftrightarrow \frac{2a}{3}=\frac{a.\frac{2a.x}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{4{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}} \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{4{{a}^{2}}+5{{x}^{2}}}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\Rightarrow AB=2a\).