Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hs \(y = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5\) đồg biến trên (0;2

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)x+5\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}+6x-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\,\,2 \right)\) khi

\({y}'\ge 0,\,\forall x\in \left( 0;\,2 \right)\) và dấu ''='' chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng \(\left( 0;\,\,2 \right)\).

\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;\,2 \right)\)

\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x\ge {{m}^{2}}-3m+2\,\,\left( * \right) \forall x\in \left( 0;\,2 \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x, x\in \left( 0;\,2 \right)\).

Ta có \({g}'\left( x \right)=6x+6>0,\,\forall x\in \left( 0;\,2 \right)\).

Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để \(\left( * \right)\) xảy ra là: \({{m}^{2}}-3m+2\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 2\)

Do \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;\,\,2 \right\}\).