Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Hàm số luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)

TH1: a = 0 có \(y' = 2bx + c\) để hàm số đồng biến trên \(R \Leftrightarrow y' \ge 0,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ c > 0 \end{array} \right.\).

TH2: \(a \ne 0\) để hàm số đồng biến trên \(R \Leftrightarrow y' \ge 0,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta ' = {b^2} - 3ac \le 0 \end{array} \right.\)

Vậy để để hàm số đồng biến trên \(R \Leftrightarrow y' \ge 0,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b = 0;\,c > 0\\ a > 0;\,{b^2} - 3ac \le 0 \end{array} \right.\).