Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: ​ Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -\pi ;\pi \right]\) của phương trình \(3f(2\sin x)+1=0\) là

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=2\sin x\). Vì \(x\in \left[ -\pi ;\pi  \right]\) nên \(t\in \left[ -2;2 \right].\) Suy ra \(3f(t)+1=0\Leftrightarrow f(t)=-\frac{1}{3}.\)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(f(t)=-\frac{1}{3}\) có 2 nghiệm \({{t}_{1}}\in \left( -2;0 \right)$ và \({{t}_{2}}\in \left( 0;2 \right)\)

Suy ra: \(\operatorname{s}\text{inx}=\frac{{{t}_{1}}}{2}\in (-1;0)\) và \(\operatorname{s}\text{inx}=\frac{{{t}_{2}}}{2}\in (0;1).\)

Với \(\operatorname{s}\text{inx}=\frac{{{t}_{1}}}{2}\in (-1;0)\) thì phương trình có 2 nghiệm \(-\pi <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0.\)

Với \(\operatorname{s}\text{inx}=\frac{{{t}_{2}}}{2}\in (0;1)\) thì phương trình có 2 nghiệm \(0<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}<\pi .\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ -\pi ;\pi  \right]\)