Cho hai số thực x, y thỏa mãn: \(2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x+2y.

* Hướng dẫn giải

\(2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)\).

\(\Leftrightarrow 2\left( {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+3y-1 \right)+\left( y-1 \right)=2\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x}-2\sqrt{1-x}\).

\(\Leftrightarrow 2{{\left( y-1 \right)}^{3}}+\left( y-1 \right)=2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}+\sqrt{1-x}\,\,\left( 1 \right)\).

+ Xét hàm số \(f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t\) trên \(\left[ 0;\,+\infty  \right)\).

Ta có: \({f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1 >0\) với \(\forall t\ge 0 \Rightarrow f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left[ 0;\,+\infty  \right)\).

Vậy \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow y-1=\sqrt{1-x} \Leftrightarrow y=1+\sqrt{1-x}\).

\(\Rightarrow P=x+2y=x+2+2\sqrt{1-x}\) với \(\left( x\le 1 \right)\).

+  Xét hàm số \(g\left( x \right)=2+x+2\sqrt{1-x}\) trên \(\left( -\infty ;\,1 \right]\).

Ta có: \({g}'\left( x \right)=1-\frac{1}{\sqrt{1-x}} =\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{1-x}}\). \({g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=0\).

Bảng biến thiên \(g\left( x \right)\):

Từ bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) suy ra giá trị lớn nhất của P là: \(\underset{\left( -\infty ;\,1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=4\)