Xét các số thực dương x,y thỏa mãn \(\ln \left( {\frac{{1 - 2x}}{{x + y}}} \right) = 3x + y - 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt {xy} }} + 1\)

* Hướng dẫn giải

\(\ln \left( \frac{1-2x}{x+y} \right)=3x+y-1\) xác định \(\Leftrightarrow \frac{1-2x}{x+y}>0\). Do x,y>0 nên \(1-2x>0\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{2}\)

Khi đó: \(\ln \left( \frac{1-2x}{x+y} \right)=3x+y-1 \Leftrightarrow \ln \left( 1-2x \right)-\ln \left( x+y \right)=\left( x+y \right)-\left( 1-2x \right)\)

\(\Leftrightarrow \ln \left( 1-2x \right)+\left( 1-2x \right)=\ln \left( x+y \right)+\left( x+y \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\ln t+t\) với t>0 Hàm số \(f\left( t \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\).

\({f}'\left( t \right)=\frac{1}{t}+1>0;\forall t>0\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right) \Rightarrow f\left( 1-2x \right)=f\left( x+y \right)\)

\(\Leftrightarrow 1-2x=x+y\Leftrightarrow y=1-3x>0\)

Do đó: \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left( 1-3x \right)}}+1\ge \frac{1}{x}+\frac{2}{1-2x}+1\) (Dấu bằng xảy ra khi \(x=1-3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\))