Cho biết \(\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{{{e}^{x}}-1}}=a\ln ({{e}^{2}}+e+1)-2b\) với a, b là các số nguyên. Tính K=a+b.

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} \int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}} = \int\limits_1^3 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x}({e^x} - 1)}}} = \int\limits_1^3 {\frac{{d({e^x})}}{{{e^x}({e^x} - 1)}}} = \int\limits_1^3 {(\frac{{d({e^x} - 1)}}{{{e^x} - 1}} - } \frac{{d({e^x})}}{{{e^x}}})\\ = (\ln \left| {{e^x} - 1} \right| - \ln \left| {{e^x}} \right|)\left| \begin{array}{l} 3\\ 1 \end{array} \right. = \ln ({e^3} - 1) - \ln {e^3} - \ln (e - 1) + \ln e = \ln ({e^2} + e + 1) - 2\\ = a\ln ({e^2} + e + 1) - 2b \Rightarrow a = 1;b = 1 \Rightarrow K = a + b = 2 \end{array}\)