Hỏi có tất cả bao giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -10;10 \right]\) để hàm số \(y=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+2m-1\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)?

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D={{\mathbb{R}}^{{}}}\). Ta có: \(y'=6{{x}^{2}}+2x-m\)

Hàm số \(y=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+2m-1\) nghịch biến trên \(\left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow y'\le 0\,,\,\,\forall x\in \left[ -1;1 \right]\)

\(\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+2x\le m\,\,,\forall x\in \left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left( 6{{x}^{2}}+2x \right)\).

Xét hàm số: \(g\left( x \right)=6{{x}^{2}}+2x\) trên \(\left[ -1;1 \right]\) ta có:

\(g'\left( x \right)=12x+2\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 12x+2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{6}\in \left[ -1;1 \right]\)

\(\left\{ \begin{array}{l} g\left( { - 1} \right) = 4\\ g\left( { - \frac{1}{6}} \right) = - \frac{1}{6}\\ g\left( 1 \right) = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = 8\,\,khi\,\,\,x = 1\) nên \(m \ge 8\)

Suy ra \(m \in \left\{ {8;9;10} \right\}\)