Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(f\left( 4 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 4x \right)dx}=1,\) khi đó \(\int\limits_{0}...

* Hướng dẫn giải

Tính \(I = \int\limits_0^4 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \).

\(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = f'\left( x \right)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2dx\\ v = f\left( x \right) \end{array} \right.\)

Do đó \(I = {x^2}.\left. {f\left( x \right)} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {2x.f\left( x \right)dx} ,\) ta tính \(\int\limits_0^4 {2x.f\left( x \right)dx} \).

Xét \(\int\limits_0^1 {xf\left( {4x} \right)dx}  = 1.\)

Đặt \(t = 4x \Rightarrow \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}t.f\left( t \right).\frac{1}{4}dt}  = 1 \Rightarrow \int\limits_0^4 {t.f\left( t \right)dt}  = 16 \Rightarrow \int\limits_0^4 {x.f\left( x \right)} dx = 16.\)

Xét \(I = \int\limits_0^4 {{x^2}f'\left( x \right)} dx.\) Suy ra: \(I = \left. {{x^2}.f\left( x \right)} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {2x.f\left( x \right)dx}  = {4^2}f\left( 4 \right) - 2.16 =  - 16.\)