Xét các số thực dương x,y,z thay đổi và các số thực a,b,c lớn hơn 1 thỏa mãn \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị nhỏ nhất của \(P=x+y+2{{z}^{2}}\) thuộc tập nào s...

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có \({{a}^{x}}=\sqrt{abc}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}\left( abc \right)\Rightarrow \frac{1}{x}=2{{\log }_{abc}}a\).

Tương tự \(\frac{1}{y}=2{{\log }_{abc}}b;\,\,\,\frac{1}{z}=2{{\log }_{abc}}c\).

Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\,\frac{1}{z}=2\left( lo{{g}_{abc}}a+lo{{g}_{abc}}b+{{\log }_{abc}}c \right)=2.\)

Mà \(\left( x+y \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\ge 4\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\Rightarrow \frac{4}{x+y}\le 2-\frac{1}{z}\Rightarrow x+y\ge \frac{4z}{2z-1}\).

Suy ra \(P=x+y+2{{z}^{2}}\ge \frac{4z}{2z-1}+2{{z}^{2}}=f\left( z \right)\).

\(\begin{align} & f\left( z \right)=\frac{4z}{2z-1}+2{{z}^{2}},\,\,\left( z>0 \right);\,\,f'\left( z \right)=\frac{-4}{{{\left( 2z-1 \right)}^{2}}}+4z \\ & f'\left( z \right)=0\Leftrightarrow z{{\left( 2z-1 \right)}^{2}}-1=0\Leftrightarrow z=1 \\ \end{align}\)

Do đó \(f\left( z \right)\ge f\left( 1 \right)=6\).