Giả sử M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+a \right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\). Hỏi có tất c...

* Hướng dẫn giải

Xét \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+a\) trên \(\left[ 0;2 \right]\).

Ta có \(g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+4>0,\forall x\in \left[ 0;2 \right]\). Suy ra \(g\left( x \right)\in \left[ a;a+4 \right],\forall x\in \left[ 0;2 \right]\).

TH1: Nếu a>0 thì \(M=a+4;\,\,m=a\).

Từ gt: \(M\le 2m \Leftrightarrow a+4\le 2a\Leftrightarrow a\ge 4\). Vì \(\left\{ \begin{align} & a\in \mathbb{Z} \\ & a\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{align} \right.\) nên \(a\in \left\{ 4;5;6;7;8;9;10 \right\}\).

TH2: Nếu a<-4 thì \(M=-a;\,\,m=-a-4\).

Từ gt \(M\le 2m \Leftrightarrow -a\le 2\left( -a-4 \right)\Leftrightarrow a\le -8\). Vì \(\left\{ \begin{align} & a\in \mathbb{Z} \\ & a\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{align} \right.\) nên \(a\in \left\{ -10;-9;-8 \right\}\).

TH3: Nếu \(-4\le a\le 0\) thì \(M=m\text{ax}\left\{ \left| a \right|;\left| a+4 \right| \right\};\,\,m=0\).

\(M=m\text{ax}\left\{ \left| a \right|;\left| a+4 \right| \right\}=m\text{ax}\left\{ \left| -a \right|;\left| a+4 \right| \right\}\,\ge \frac{\left| -a \right|+\left| a+4 \right|}{2}\ge \frac{-a+a+4}{2}=2>m=0.\)

Vậy \(a\in \left\{ -10;-9;-8;4;5;6;7;8;9;10 \right\}\).