Cho hai số dương x,y thỏa \({{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+6x+9 \right)-{{y}^{2}}+2={{3}^{{{y}^{2}}}}-{{x}^{2}}-2x\) với \(x\in \left( 0;600 \right)\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên y...

* Hướng dẫn giải

\({{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+6x+9 \right)-{{y}^{2}}+2={{3}^{{{y}^{2}}}}-{{x}^{2}}-2x\), với \(x\in \left( 0;600 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)+{{x}^{2}}+2x+3={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)+{{3}^{{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}}={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{y}^{2}}\left( * \right)\)

Xét \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+t,\,\,t>0;\,\,\,\,f'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>0\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến.

Do đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)={{y}^{2}}\)

Với \(x\in \left( 0;600 \right)$\[\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\in \left( 1;12 \right)\Rightarrow y\in \left( 1;4 \right)\)

Do đó có 2 số nguyên y.